1.Определение, геометрический и экономический смысл определенного интеграла.
Функция f (х) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок на n произвольных частей точкам . Выберем в каждом множестве [xi-1, xi] произвольную точку ξi. Составим сумму произведений , которою будем называть интегральной суммой (сумма Римана).
Геометрический смысл интегральной суммы: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , i=1,2,…n.
Sn зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и от выбора точек ξi.
Будем менять разбиение {x0, x1, …, xn}. Следовательно, получим последовательность разбиений, которой будет соответствовать последовательность и последовательность интегральных сумм Sn. Пусть при некоторой выбранной последовательности разбиений, когда , эта сумма Sn стремится к пределу I.
Определение. Пусть предел I интегральной суммы Sn при существует, конечен и не зависит от способа разбиения {x0, x1, …, xn} и выбора точек ξi i=1,2,…n. Тогда этот предел I называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [a, b]. Обозначается , а сама функция называется интегралом на отрезке [a, b], т.е. = =I. При этом число а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.
Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла = = .
Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что a<b. Тогда = - . Если a = b, =0.
Свойства:
1). .
2). = .
3). Если функции f (х) и g(x) – интегрируемы на отрезке [a, b], то функция f (х) ± g (x) также интегрируема на отрезке [a, b], при этом = ± .
4). Если функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], k – число, то функция kf (х) – также интегрируема на отрезке [a, b], при этом = .
5). Если функция f (х) – интегрируема на отрезках [a, с] и [с, b], (a<c<b), то функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], и наоборот. При этом = + .
6). Если функция f (х) ≥0 на отрезке [a, b], a<b, то ≥0.
7). Если функции f (х) и g(x) удовлетворяют неравенству f (х) ≤ g (x) на отрезке [a, b], a<b, то ≤ .
8). Если функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], a<b, то │ │≤ .
9). Если М – max, m – min функции f (х) на отрезке [a, b], a<b, то
m (b-a) ≤ ≤ M (b-a).
10. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Если функция f (х) – непрерывна на отрезке [a, b], a<b, то существует такая точка с , что интеграл =f (c)∙(b-a).
Пусть функция f (х) ≥0 на отрезке [a, b], где a<b. Тогда - число, равное площади S криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, осью Ох и графиком функции у=f (х).
Теорема. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b] и F(х) – первообразная для f (х). Тогда =F(x) = F(b)-F(a). (Формула Ньютона-Лейбница).
Пример. = = ¼ – 0 = ¼.
Интегрирование по частям. .
Пример. = = = - - = .
Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция определена на отрезке и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем , . Тогда = .
Пример. = =
= = 2 =π.
Т1. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
Т2. Если определенная и ограниченная на множестве [a, b] функция f (х) имеет конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Т3. Монотонная на отрезке [a, b] функция f (х) интегрируема на этом отрезке.
Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых и независимых переменных. Несмотря на то, что эти задачи содержательно не связаны между собой, с математической точки зрения они сходны. В микро экономике часто приходится находить саму функцию по известной ее предельной величине (производной f /(x)), т.е. решать задачу обратную нахождению производной данной функции – задачу интегрирования функции.