В учебно-методическом пособии использованы материалы, разработанные доцентом кафедры «Информатика и ЭММ» Миселимян Т.Л.
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор, факультет педагогики, психологии и коммуникативистики Куб ГУ, г. Краснодар,
Ю.И. Дударев
Кандидат педагогических наук, профессор кафедры «Информатика и ЭММ» Южного института менеджмента, г. Краснодар,
Б.А. Бурняшов
Савчук С.Б.
С13 Интегральное исчисление. Учебно-методическое пособие –Краснодар: ЮИМ, 2012. –46 с.
В учебно-методическом пособии разработаны обучающий и контролирующий блоки, содержащие материал, соответствующий содержанию 3-го раздела «Интегральное исчисление» учебной дисциплины «Математический анализ». Предложены тезисы-лекции, решения типовых упражнений, задания для самостоятельной работы студентов, а также варианты тестов.
Пособие предназначено для подготовки студентов направлений 080100 Экономика, 080200 Менеджмент,100400 Туризм. Оно также может быть использовано преподавателями «Математического анализа» и «Математики» в учебном процессе при систематизации учебного материала и для контроля уровня усвоения данной темы.
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом (протокол № 10 от 14. 06. 2012 г.)
Ó Издательство ЮИМ
Содержание
Пояснительная записка. 4
Обучающий блок. 5
Содержание лекций (тезисы) 5
Практические занятия. 21
Контролирующий блок. 37
Литература. 45
Пояснительная записка.
Структура учебно-методического пособия содержит обучающий блок и контролирующий блок.
В обучающем блоке структурирован учебный материал по нескольким ведущим темам раздела «Интегральное исчисление». Это позволяет систематизировать большой объем учебного материала в единую логически связанную систему. Каждая тема разбита на отдельные вопросы, определенная порция которых изучается, как правило, в течение одной лекции. Материал этого блока представлен в форме тезисов. Для выработки навыков на практических (семинарских) занятиях предлагаются решения типовых упражнений.
Контролирующий блок состоит из контрольного тестирования.
Разработанные блоки носят как учебно-методический, так и чисто практический характер. Не претендуя на полноту и окончательность теоретического и практического содержания дисциплины, пособие, по мнению авторов, должно способствовать более четкому и содержательному представлению курса Математического анализа, повысить качество формирования у студентов общекультурных и профессиональных компетенций, системы математических знаний и умений, являющихся составными компонентами экономических знаний и умений, а также способствовать повышению методической компетентности преподавателей.
Обучающий блок
Содержание лекций (тезисы)
Лекция 3.1 «Неопределенный интеграл»
Вопросы:
1.Понятие первообразной.
2.Неопределенный интеграл, свойства.
3.Таблица интегралов.
Определение. Функция F(х) называется первообразной от функции f (x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F / (х) = f (x).
По геометрическому смыслу производной F /(х) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=F(х) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную от функции f (x) - значит найти такую кривую у=F(х), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке.
Теорема. Если F1(х) и F2(х) – две первообразные от функции f(x) на отрезке [a, b], то разность между ними равна постоянному числу.
Геометрически это означает, что если найдена одна кривая у=F(х), удовлетворяющая условию F/(х)=tgα=f(х), то сдвигая ее вдоль оси ординат, вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (т. к. такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х).(См. рис. 1.)
Определение. Если функция F(х) является первообразной для f(х), то выражение F(х)+С называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. Значит, ∫f(x)dx=F(х) +С, если F / (х)=f(x); ∫- знак интеграла; f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение. Нахождение первообразной для функции f (х) называется интегрированием функции f (х).
Рис. 1.
Теорема. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная (неопределенный интеграл).
Замечание. Производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией. Первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.
Из определения 2 следует:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если F/ (х) = f (х), то и
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов
.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а – соnst, то