До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если , то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):
. (5)
Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.
Интеграл (5) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.
Теорема 8.Производная интеграла от непрерывной функции поперемен-
ному верхнему пределу существует и равна значению подынте-
гральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
. (6)
Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .
Теорема 9.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
, (7)
где F(x) - некоторая первообразная функции f(x).
Формула (7) называется формулой Ньютона - Лейбница.
Формулу Ньютона - Лейбница можно переписать как
.
Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Формула Ньютона - Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.
Пример 11. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Заключение. Изучение интегрального исчисления, особенно определенного интеграла, дает широкие возможности в различных областях науки. Например, можно вычислять длину различных кривых, объемы тел вращения и площади их поверхности, находить координаты центра масс геометрических фигур, статические моменты инерции, работу по перемещению материальной точки и многое другое.
В случае , когда определенный интеграл не возможно вычислить, применяя формулу Ньютона-Лейбница (например, в случае, когда первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией), применяют «Численное интегрирование».Историческое название: численная квадратура. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла, как правило, значение приближённое. Существует три численных метода:
1. Метод прямоугольников,
2. Метод трапеций,
3. Метод парабол (метод Симпсона).
С некоторыми из них студенты познакомятся на информатике, изучив определенные алгоритмы.