Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Формула Ньютона - Лейбница



 

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если , то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):

. (5)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (5) называется интегралом с переменным верхним пределом.

 

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Теорема 8.Производная интеграла от непрерывной функции поперемен-

ному верхнему пределу существует и равна значению подынте-

гральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

. (6)

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .

Теорема 9.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

, (7)

где F(x) - некоторая первообразная функции f(x).

 

Формула (7) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Формулу Ньютона - Лейбница можно переписать как

 

.

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона - Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

 

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Заключение. Изучение интегрального исчисления, особенно определенного интеграла, дает широкие возможности в различных областях науки. Например, можно вычислять длину различных кривых, объемы тел вращения и площади их поверхности, находить координаты центра масс геометрических фигур, статические моменты инерции, работу по перемещению материальной точки и многое другое.

В случае , когда определенный интеграл не возможно вычислить, применяя формулу Ньютона-Лейбница (например, в случае, когда первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией), применяют «Численное интегрирование».Историческое название: численная квадратура. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла, как правило, значение приближённое. Существует три численных метода:

1. Метод прямоугольников,

2. Метод трапеций,

3. Метод парабол (метод Симпсона).

С некоторыми из них студенты познакомятся на информатике, изучив определенные алгоритмы.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.