Регрессионный метод анализа взаимосвязей. Методика построения однофакторной регрессионной модели связи

Регрессионный анализ ставит своей целью получение уравнениязависимости между фактором х и результатом у, по заданным исходным данным.

х₁ у₁

х₂ у₂

• •

• •

• •

х_n у_n

Разброс фактических значений y_i вокруг теоретических значений , рассчитанных по избранному для моделирования уравнению регрессии, обусловлен влиянием множества случайных факторов. Разности

(16)

называемые остаточными величинами (или остатками), оценивают отклонения расчетных значений от фактических значений y_i.

Следовательно, при построении регрессионной модели численные значения коэффициентов a_k выбранного типового уравнения регрессии (8) необходимо искать так, чтобы обеспечить наименьшие возможные остатки для всех случаев наблюдения (x_i, y_i).

Для этой цели используется метод наименьших квадратов (МНК), который позволяет рассчитать параметры a_k выбранного типового уравнения регрессии таким образом, чтобы теоретическая линия регрессии была бы в среднем наименее удалена от всех точек (x_i, y_i) по сравнению с любой другой теоретической линией регрессии, отвечающей выбранному типу функции связи (8).

Согласно МНК, задача поиска значений параметров a_k, минимизирующих сумму погрешностей (16), имеет вид

min (17)

и решается как задача на экстремум - путем приравнивания нулю первых частных производных функции S по каждому искомому параметру a_k уравнения регрессии. Это приводит к системе уравнений, называемой нормальной, решение которой дает численные значения параметров a_k, минимизирующие функцию S.

Простейшей формой корреляционной связи признаков является парная линейная корреляция, представляющая собой линейную зависимость результативного признака Y от факторного признака Х.

Ее практическое значение состоит в том, что при исследовании взаимосвязи социально-экономических явлений во многих случаях среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяют один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака.

Уравнение парной линейной корреляционной связи имеет следующий вид:

,

где - расчетное теоретическое значение результативного признака Y, полученное по уравнению регрессии;

а₀ - среднее значение признака Y в точке x=0;

а₀, а₁ - коэффициенты уравнения регрессии (параметры связи).

Гипотеза о линейной зависимости между признаками Х и Y выдвигается в том случае, если значения обоих признаков возрастают (или убывают) одинаково, примерно в арифметической прогрессии.

Уравнение парной линейной корреляции показывает среднее изменение результативного признака Y при изменении фактора Х на однуединицу его измерения, т.е. вариацию признака Y, которая приходится на единицу вариации фактора Х. Знак параметра указывает направление этого изменения.

Коэффициенты уравнения а₀, а₁отыскиваются методом наименьших квадратов (МНК). В основу МНК положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических значений y_i от выровненных . При линейной зависимости критерий минимизации (17) принимает вид:

(18)

Для нахождения значений параметров а₀, а₁, при которых функция двух переменных Sможет достигнуть минимума, приравнивают к нулю частные производные Sпо а₀, а₁ и тем самым получают систему 2-х уравнений с двумя неизвестными а₀, а₁: