Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Алгоритм решения задачи. Последовательность вычислений при решении задачи оптимизации



Последовательность вычислений при решении задачи оптимизации, поставленной в п. 2.1., сводится к следующему.

Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:

= 0; = ; = .

Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:

= + .

Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, - решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:

= ; = 0; = .

Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:

= + .

Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:

+ = ;

+ = .

Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:

= ; = ; = 0.

Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:

= + .

Отметим, что приведенные выше выражения для решений систем линейных уравнений, вытекают из теоремы Крамера. При выполнении работы можно воспользоваться любым другим методом решения систем, в том числе методом Гаусса последовательного исключения переменных.

Для нахождения оптимальной производственной программы необходимо из найденных решений выбрать такое, которое обеспечивает наибольший доход предприятию.

Расположим полученные значения целевой функции , , в порядке возрастания 0 . Возможны следующие варианты.

Если > , то оптимальной является производственная программа:

( = , = = ).

Если = > , то оптимальной является любая производственная программа, соответствующая точкам отрезка, расположенного между граничными точками и . Условимся в этом случае указывать только два граничных решения:

( = , = = );

( = , = = ).

Если = = > 0, то также имеется множество оптимальных производственных программ, позволяющих предприятию получить одинаковый наибольший возможный доход. Условимся в этом случае указывать три граничных решения (два из которых совпадают):

( = , = = );

( = , = = );

( = , = = ).

По существу задачи оптимизации производственной программы в окончательном решении следует опустить дробную часть (мантиссу) в значениях объемов производства.

В заключении следует рассчитать доход предприятия от реализации оптимальной производственной программы:

= + + .

 

Решение задачи. Вариант №2

 

Оптимизация производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.

Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:

= 0,4 (чел.-час); = 0,2 (чел.-час); = 0,1 (чел.-час),

а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:

= 0,4 (кг); = 1 (кг); = 2,5 (кг).

Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной

= 4400 (чел.-час),

а суммарная металлоемкость –

= 14000 (кг).

Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:

= 1200 (руб.); = 1000 (руб.); = 1700 (руб.).

Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

y = 1200 + 1000 + 1700 ;

0,4 + 0,2 + 0,1 = 4400;

0,4 + 1 + 2,5 = 14000;

0, 0, 0.

В пространстве переменных ( ) первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 4400/0,4 = 11000, = 0, = 0) ;

( = 0, = 4400/0,2 = 22000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 4400/0,1 = 44000) .

Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.

Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 14000/0,4 = 35000, = 0, = 0) ;

( = 0, = 14000/1 = 14000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 14000/2,5 = 5600) .

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:

- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;

- условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, = 0, а конец этого отрезка суть точки и . Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке ;

- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.

 

 

 

Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере

 

Находим координаты точки = ( ) решая систему уравнений:

0,2 + 0,1 =4400,

1 + 2,5 = 14000.

Получаем: = 0;

= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = 24000;

= (0,2*14000 – 4400*1)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = -4000

Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:

1200*24000 – 1000*4000 = 24800000,

но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

Находим координаты точки = ( ), решая систему уравнений:

0,4 + 0,1 = 4400,

0,4 + 2,5 = 52000.

Получаем:

= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) =10000;

= 0;

= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) = 4000.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000.

При вычислении координат точки = ( ) путем решения системы уравнений

0,4 + 0,2 = 4400,

0,4 + 1 = 52000,

получаем:

= (4400*1 – 0,2*14000)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =5000;

= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =12000;

= 0.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 1200*5000 + 1000*12000 = 18000000.

Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:

0 = < = 18.000.000 < = 18.800.000.

Можно видеть, что оптимальной является вторая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.

Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:

- изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –

= 0;

- объем производства изделий первого типа запланировать в количестве

= 10000 (шт.);

- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

= 4000 (шт.).

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000 (руб)., т.е. 18,8 млн.руб.

Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

 

Таблица 1

Оптимальная производственная программа предприятия

Тип изделия
Объем производства, шт.
Доход предприятия, руб.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.