Последовательность вычислений при решении задачи оптимизации, поставленной в п. 2.1., сводится к следующему.
Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:
+ = ;
+ = .
Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:
= 0; = ; = .
Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:
= + .
Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, - решая систему уравнений:
+ = ;
+ = .
Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:
= ; = 0; = .
Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:
= + .
Находим координаты ( ) точки - встречи линии пересечения плоскостей ограничений и координатой плоскости = 0, решая систему уравнений:
+ = ;
+ = .
Поскольку векторы ( , ), ( , ) линейно независимы, решение существует и может быть представлено в виде:
= ; = ; = 0.
Проверяем выполнение предположения о неотрицательных объемах производства. Если хотя бы одно из найденных решений отрицательно, т.е. < 0 или < 0, точка = ( ) не может служить оптимальной производственной программой предприятия. В этом случае полагаем доход предприятия равным нулю, = 0. В противном случае следует найти значение целевой функции в этой точке:
= + .
Отметим, что приведенные выше выражения для решений систем линейных уравнений, вытекают из теоремы Крамера. При выполнении работы можно воспользоваться любым другим методом решения систем, в том числе методом Гаусса последовательного исключения переменных.
Для нахождения оптимальной производственной программы необходимо из найденных решений выбрать такое, которое обеспечивает наибольший доход предприятию.
Расположим полученные значения целевой функции , , в порядке возрастания 0 . Возможны следующие варианты.
Если > , то оптимальной является производственная программа:
( = , = = ).
Если = > , то оптимальной является любая производственная программа, соответствующая точкам отрезка, расположенного между граничными точками и . Условимся в этом случае указывать только два граничных решения:
( = , = = );
( = , = = ).
Если = = > 0, то также имеется множество оптимальных производственных программ, позволяющих предприятию получить одинаковый наибольший возможный доход. Условимся в этом случае указывать три граничных решения (два из которых совпадают):
( = , = = );
( = , = = );
( = , = = ).
По существу задачи оптимизации производственной программы в окончательном решении следует опустить дробную часть (мантиссу) в значениях объемов производства.
В заключении следует рассчитать доход предприятия от реализации оптимальной производственной программы:
= + + .
Решение задачи. Вариант №2
Оптимизация производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.
Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:
Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной
= 4400 (чел.-час),
а суммарная металлоемкость –
= 14000 (кг).
Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:
= 1200 (руб.); = 1000 (руб.); = 1700 (руб.).
Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:
y = 1200 + 1000 + 1700 ;
0,4 + 0,2 + 0,1 = 4400;
0,4 + 1 + 2,5 = 14000;
0, 0, 0.
В пространстве переменных ( ) первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:
( = 4400/0,4 = 11000, = 0, = 0) ;
( = 0, = 4400/0,2 = 22000, = 0) ;
( = 0, = 0, = 4400/0,1 = 44000) .
Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.
Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:
( = 14000/0,4 = 35000, = 0, = 0) ;
( = 0, = 14000/1 = 14000, = 0) ;
( = 0, = 0, = 14000/2,5 = 5600) .
Плоскость также изображена на рис. 1.
Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:
- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;
- условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, = 0, а конец этого отрезка суть точки и . Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке ;
- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.
Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере
Находим координаты точки = ( ) решая систему уравнений:
Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :
= 1200*5000 + 1000*12000 = 18000000.
Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:
0 = < = 18.000.000 < = 18.800.000.
Можно видеть, что оптимальной является вторая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.
Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:
- изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –
= 0;
- объем производства изделий первого типа запланировать в количестве
= 10000 (шт.);
- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве
= 4000 (шт.).
При этом предприятие получит наибольший возможный доход:
= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000 (руб)., т.е. 18,8 млн.руб.
Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.
Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.
Таблица 1
Оптимальная производственная программа предприятия