Помощничек
Главная | Обратная связь

...

Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Численные методы решения систем ОДУ первого порядка



Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:

Явный метод Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера:

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

Введем вторую неизвестную функцию . Тогда задача Коши заменяется следующей:

Т.е. в терминах предыдущей задачи: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

на отрезке [0,1].

Точное решение:

Действительно:

Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.

Введем функцию .

Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

Явный метод Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера:

Метод Рунге – Кутта:

Схема Эйлера:

X y z y теор z теор y-y теор
0.2 -0.2 0.983685 -0.14622 0.016315
0.4 0.96 -0.28 0.947216 -0.20658 0.012784
0.6 0.904 -0.28 0.905009 -0.20739 0.001009
0.8 0.848 -0.2288 0.866913 -0.16826 0.018913
0.80224 -0.14688 0.839397 -0.10364 0.037157

Модифицированный метод Эйлера:

X ycv zcv y z y теор z теор y-y теор
0.2 -0.2 -0.18 0.983685 -0.14622 0.016315
0.4 0.96 -0.28 0.962 -0.244 0.947216 -0.20658 0.014784
0.6 0.904 -0.28 0.9096 -0.2314 0.905009 -0.20739 0.004591
0.8 0.848 -0.2288 0.85846 -0.17048 0.866913 -0.16826 0.008453
0.80224 -0.14688 0.818532 -0.08127 0.839397 -0.10364 0.020865

Схема Рунге - Кутта:

x Y z k1 l1 k2 l2 k3 l3 k4 l4
-1 -0.1 -0.7 -0.07 -0.75 -0.15 -0.486
0.2 0.983667 -0.1462 -0.1462 -0.49127 -0.19533 -0.27839 -0.17404 -0.31606 -0.20941 -0.13004
0.4 0.947189 -0.20654 -0.20654 -0.13411 -0.21995 0.013367 -0.2052 -0.01479 -0.2095 0.112847
0.6 0.904977 -0.20734 -0.20734 0.10971 -0.19637 0.208502 -0.18649 0.187647 -0.16981 0.27195
0.8 0.866881 -0.16821 -0.16821 0.269542 -0.14126 0.332455 -0.13497 0.317177 -0.10478 0.369665
0.839366 -0.1036 -0.1036 0.367825 -0.06681 0.40462 -0.06313 0.393583 -0.02488 0.423019

Max(y-y теор)=4*10-5

Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ

Постановка задачи: найти решение линейного дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющего краевым условиям: . (2)

Теорема. Пусть . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.

К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Основные этапы метода конечных разностей:

1) область непрерывного изменения аргумента ([a,b]) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: .

2) Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. . Функция называется сеточной.

3) Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.