Преобразование графиков, симметрия относительно прямой, растяжение и сжатие

Пусть задан график функции y = f(x). Чтобы построить график функции

1. y = mf(x), где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m. Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси x, если 0 < m < 1.
2. y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x. (Преобразование симметрии - зеркальное отражение относительно прямой.)
3. y = f(x) + n, получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0 и, соответственно на |n| единиц вниз, если n < 0.
4. y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентомk к оси y (если 0 < k < 1 указанное "сжатие" фактически является растяжением с коэффициентом 1/k)
5. y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y
6. y = f(x + l) получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего на l единиц влево, если l > 0 и, соответственно на |l| единиц вправо, если m < 0.

Функции одной переменной . Актуализирую два особо нужных сейчас термина: «икс» – независимая переменная или АРГУМЕНТ, «игрек» – зависимая переменная или ФУНКЦИЯ. При этом функцию можно обозначать как через «игрек», так равноценно и через «эф от икс», например:

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать к оси в раз.

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку

Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Пример 2

Построить график функции

«Чёрная гармошка» сжимается к оси в 3 раза:

Итоговый график проведён красным цветом.
Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в раз.

Продолжим мучить синус:

Пример 3

Построить график функции

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Пример 5

Построить график функции

График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси ординат:

Как видите, всё просто.

Если при умножении аргумента на число значение параметра отрицательно и не равно минус единице, то построение выполняется в два шага.

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Структура второй части статьи будет очень похожа.

1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:

Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:

Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!

Поиск по сайту: